Задачи по алгебре. Выпуск 1.

 

1. Вычислить определитель

.

Согласно определению определителя 2-го порядка

.

 

2. Пользуясь определениями, решить систему уравнение:

.

Найдем определитель из коэффициентов системы:

.

Определитель отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера согласно которому значение неизвестных определяется по формулам:

, ,

где определитель получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов системы:

,

а определитель получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов системы:

.

Таким образом,

, .

 

3. Вычислить определитель 3-го порядка:

.

Согласно определению определителя 3-го порядка:

.

 

4. Пользуясь определителями, решить систему уравнений:

Найдем определитель из коэффициентов системы:

.

Определитель отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера согласно которому значение неизвестных определяется по формулам:

, , ,

где определитель получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов системы:

,

определитель получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов системы:

,

определитель получается из определителя заменой третьего столбца столбцом свободных членов системы:

.

Таким образом,

, , .

 

5. Определить число инверсий в перестановке 2, 3, 5, 4, 1.

Инверсии образуют следующие пары чисел

(2,1), (3,1), (5,1), (5,4), (4,1).

Таким образом, число инверсий в данной перестановке равно 5.

 

6. Определить число инверсий в перестановке 1, 3, 5, 7,...,2n-1, 2, 4, 6, 8,..., 2n.

Число 1 не образует инверсий.

Число 3 образует 1 инверсию с 2.

Число 5 образует 2 инверсию с 2 и 4.

Число7 образует 3 инверсию с 2, 4 и 6.

Число 2n-1 образует n-1 инверсию с 2, 4, 6, ... , 2n-2.

Таким образом, число всех инверсий в данной перестановки равно

.

 

7. Вычислить определитель

.

Выполним сначала следующие преобразования:

1. прибавим ко второй строке первую,
2. прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на (-2),
3. прибавим к четвертой строке первую, умноженную на (-1).

Получим

.

Разложим этот определитель по третьему столбцу, содержащий лишь один не равный нулю элемент, расположенный на пересечении 1-ой строки и 3-го столбца, получим

.

Согласно определению определителя 3-го порядка получим:

.

 

8. Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель:

.

Разложим его по 2-ой и 4-ой строкам, содержащим лишь один не равный нулю минор

,

элементы которого стоят на пересечении 2-ой, 4-ой строк и 1-го, 4-го столбцов, получим:

9. Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель:

.

Разложим определитель по 3-му и 5-му столбцу, содержащих три не равных минора:

минор

,

элементы которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 1-ой, 3-ей строк;

минор

,

элементы которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 1-ой, 4-ой строк;

минор

,

элементы которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 3-ей, 4-ой строк.

Получим:

.

 

10.Решить систему методом исключения неизвестных:

.

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

.

Поменяем местами 1-ую и 3-юю строки, получим:

.

Прибавим ко 2-ой строке 1-ую, умноженную на (-2),

прибавим к 3-ей строке 1-ую, умноженную на (-3),

прибавим к 4-ой строке 1-ую, умноженную на (-1), получим:

.

Прибавим ко 2-ой строке 3-ю строку, умноженную на (-1) получим:

.

Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на 8, прибавим к 4-ой строке 2-ю, умноженную на 3, получим

.

Прибавим к 3-ей строке 4-ю строку, умноженную на (-3) получим:

.

Прибавим к 4-ой строке 3-ю строку, умноженную на (-14) получим

.

Умножим 4-ю строку на , получим:

.

Прибавим к 3-ей строке 4-ю строку, умноженную на 26, прибавим к 1-ой 4-ую, умноженную на 4,

получим:

~~.

 

11. Найдем ранг матрицы методом окаймления минора:

.

Минор, второго порядка, стоящем в левом верхнем углу данной матрицы равен нулю:

.

Однако в матрице содержится и отличный от нуля минор второго порядка, например

.

Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор d, равны 0:

, , .

Таким образом, ранг матрицы равен 2.

 

12. Выяснить, является ли следующая система векторов линейно зависимой или линейно независимой: , , , .

Составим матрицу, для которой данные вектора служат столбцами (строками) и вычислим ранг этой матрицы:

.

Таким образом, ранг равен 4

Следовательно, все 4 вектора данной системы линейно независимы.