Введение
Задачи по алгебре. Выпуск 1. Задачи по алгебре. Выпуск 2.
Задачи по теории алгоритмов. Выпуск 1.

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

 

Задача 1. Найти 5А, если

.

Решение:

Задача 2. Найти А+В, если

и

.

Решение:

.

Задача 3. Найти АВ, если

и

.

Решение:

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

.

Решение:

.

Задача 5. Найти , если

.

Решение:

Задача 6. Найти , если

.

Решение:

Задача 7. Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Решение:

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Мы сами можем проверить результат, Известно, что . Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Решение:

- матрица системы.

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: detА =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

А11 = (-1)1+1•М11 = (+1)•[-1•4 – 1•2] = -6

А12 = (-1)1+2•М12 = (-1)•[2•4 – 2•4] = 0

А13 = (-1)1+3•М13 = (+1)•[2•1 – 4•(-1)] = 6

А21 = (-1)2+1•М21 = (-1)•[1•4 – 1•2] = -2

А22 = (-1)2+2•М22 = [1•4 – 2•4] = -4

А23 = (-1)2+3•М23 = (-1)•[1•1 – 4•1] = 3

А31 = (-1)3+1М31 = [1•2 – (-1)•2] = 4

А32 = (-1)3+2•М32 = [(-1)•1•2 – 2•2] = 2

А33 = (-1)3+3•М33 = [1•(-1) – 2•1] = -3

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера:

Решение:

.

Задача 11. Вычислить:

Решение:

Раскроем скобки и получим:

Так как , то получаем:

= 16+30 = 46

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Решение:

Представим число z в тригонометрической форме.

, следовательно, а=1, b=1 и .

Следовательно,

.

Таким образом,

.

Применим формулу Муавра:

,

получаем, что

Задача 13. Выполнить деление с остатком f(x)=x3-x2-x на x-1+2i.

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f(x), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2i в данном примере.

 

1

-1

-1

0

1-2i

1

-2i

5-2i

-9+8i

Таким образом: f(x)=x3-x2-x=(x-1+2i) (x2-2ix-5-2i)-9+8i.

Ответ: f(x)=x3-x2-x=(x-1+2i) (x2-2ix-5-2i)-9+8i.

 

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

, ,

Решение:

;

 

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: (х, у) = 2+6+4-12 = 0 х, у – ортогональны.

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z3, z4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. (x, z) = 0 и (y, z) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

z = (2, 2, 1, 0)

Пусть теперь k = (k1, k2, k3, k4) попарно ортогонален с векторами x, y, z. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

k = (-5, 2, 6, 1)

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов и до ортонормированного базиса.

Решение:

,

,

Пусть z = (z1, z2, z3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. (x, z) = 0 и (y, z) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

z = (-2, 2, 1)

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

 

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e1, e2 параллельно оси координат вектора e3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e1, e2, e3..

Решение: Пусть L - трёхмерное пространство, e1, e2, e3 - базис L, преобразование - проектирование L на координатную плоскость векторов e1, e2 параллельно оси координат вектора e3.

Пусть х - произвольный вектор L, т.е. xÎL.

Пусть x=(x1, x2, x3) - координаты вектора x в базисе e1, e2, e3, т.е. x=x1e1+x2e2+x3e3. Тогда при преобразовании j имеем:

j(x)=(x1, x2, 0).

Докажем, что для любых xÎL, yÎL и числа l

1) j(x+y)= j(x)+ j(y),

2) j (lx)=lj(x).

j(x+y) = (x1+y1, x2+y2, 0) = (x1, x2, 0) + (y1, y2, 0) = j(x)+j(y)

j (lx) = (lx1, lx2, 0) = l(x1, x2, 0) = lj(x).

Следовательно, j - линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e1, e2, e3. Известно, что координаты образа j(x) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования Aj следующим образом:

j(x) = Aj

или

.

Откуда следует, что

.

 

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е1, е2, е3, е4 имеет матрицу

.

Найти матрицу этого же преобразования в базисе е1, е12, е123, е1234.

Решение:

Выпишем матрицу перехода от базиса е1234 к новому базису:

.

 

.

Теперь найдем матрицу преобразования Вj в новом базисе по формуле Вj-1Аj Т.

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j.

Составим характеристическую матрицу:

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

= (2-)(3+)(2+)+3-2(3+)-5(2+) =

= +3-6-2-10-5 =

= 12+4-3-7-13 = ,

Получим собственные значения: или .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: .

Но, в тоже время,

Беря значением = -1, получаем с.л.а. :

*

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а. Найдем ф.с.р. это с.л.а.

1

1

-1

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению= -1, является вектор .

 

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

,

после чего получим .

Полагая

, получим, что .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

, , .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

.

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

= =2=

=.

Полагая, что

,

получим канонический вид квадратичной формы:

.

 

 

Rambler's Top100


Hosted by uCoz