![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Введение Задачи по алгебре. Выпуск 1. Задачи по алгебре. Выпуск 2. Задачи по теории алгоритмов. Выпуск 1. Задачи по алгебре. Выпуск 2. Задача 1. Найти 5А, если
Решение: Задача 2. Найти А+В, если
и
Решение:
Задача 3. Найти АВ, если и
Решение: Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы
Решение:
Задача 5. Найти
Решение: Задача 6. Найти
Решение: Задача 7. Вычислить определитель Решение: Разложим определитель по первой строке: Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы Решение: Определитель нулю не равен, следовательно,
обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем
сразу), т. е. Мы сами можем проверить результат, Известно, что
Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно. Задача 9. Решить систему матричным способом: Решение: - матрица системы. Не является ли матрица А
вырожденной? Найдем ее определитель: detА =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 –
4•(-1)] = -6 + 12 = 6 Определитель не равен нулю, то есть матрица не
вырожденная. Значит, существует обратная матрица А11 = (-1)1+1•М11
= (+1)•[-1•4 – 1•2] = -6 А12 = (-1)1+2•М12
= (-1)•[2•4 – 2•4] = 0 А13 = (-1)1+3•М13
= (+1)•[2•1 – 4•(-1)] = 6 А21 = (-1)2+1•М21
= (-1)•[1•4 – 1•2] = -2 А22 = (-1)2+2•М22
= [1•4 – 2•4] = -4 А23 = (-1)2+3•М23
= (-1)•[1•1 – 4•1] = 3 А31 = (-1)3+1М31
= [1•2 – (-1)•2] = 4 А32 = (-1)3+2•М32
= [(-1)•1•2 – 2•2] = 2 А33 = (-1)3+3•М33 = [1•(-1) – 2•1] = -3 Можно убедиться проверкой в правильности
решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение. Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе. Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера: Решение:
Задача 11. Вычислить: Решение: Раскроем скобки и получим: Так как = 16+30 = 46 Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра: Решение: Представим число z в тригонометрической форме.
Следовательно,
Таким образом,
Применим формулу Муавра:
получаем, что Задача 13. Выполнить
деление с остатком f(x)=x3-x2-x на x-1+2i. Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены
коэффициенты многочлена f(x), под чертой соответствующие коэффициенты частного и
остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2i в данном примере.
Таким образом:
f(x)=x3-x2-x=(x-1+2i) (x2-2ix-5-2i)-9+8i. Ответ: f(x)=x3-x2-x=(x-1+2i)
(x2-2ix-5-2i)-9+8i. Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.
Решение:
Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов. Решение: Найдем скалярное произведение
данных векторов: (х, у) = 2+6+4-12 = 0 Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса. Пусть z = (z1, z2, z3, z4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. (x, z) = 0 и (y, z) = 0. Получаем следующую систему: Эта система имеет множество решений, например, z = (2, 2, 1, 0) Пусть теперь k = (k1, k2, k3, k4) попарно ортогонален с векторами x, y, z. Получаем следующую систему: Эта система имеет множество решений, например, k = (-5, 2, 6, 1) Таким образом, можно добавить векторы (2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1). Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Решение:
Пусть z = (z1, z2, z3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. (x, z) = 0 и (y, z) = 0. Получаем следующую систему: Эта система имеет множество решений, например, z = (-2, 2, 1) Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса: Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e1, e2 параллельно оси координат вектора e3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e1, e2, e3.. Решение: Пусть L - трёхмерное пространство, e1, e2, e3 - базис L, преобразование Пусть х - произвольный вектор L, т.е. xÎL. Пусть x=(x1, x2, x3) - координаты вектора x в базисе e1, e2, e3, т.е. x=x1e1+x2e2+x3e3. Тогда при преобразовании j имеем: j(x)=(x1, x2, 0). Докажем, что для любых xÎL, yÎL и числа l 1) j(x+y)= j(x)+ j(y),
2)
j (lx)=lj(x). j(x+y) = (x1+y1, x2+y2,
0) = (x1, x2,
0) + (y1, y2, 0) = j(x)+j(y) j (lx) = (lx1, lx2, 0) = l(x1, x2, 0) = lj(x). Следовательно, j - линейное преобразование. Найдем матрицу преобразования j в базисе e1, e2, e3. Известно, что координаты образа j(x) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования Aj следующим образом: j(x) = Aj или
Откуда следует, что
Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е1, е2, е3, е4 имеет матрицу Найти матрицу этого же преобразования в базисе е1, е1+е2, е1+е2+е3, е1+е2+е3+е4. Решение: Выпишем матрицу перехода от базиса е1,е2,е3,е4 к новому базису:
Теперь найдем матрицу преобразования Вj в новом базисе по формуле Вj=Т-1Аj Т. Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей: Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j. Составим характеристическую матрицу: Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:
= (2- = = 12+4 Получим
собственные значения: Для каждого собственного значения найдем собственный вектор. По определению
имеем: Но, в тоже
время,
Беря
значением Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а.у. Найдем ф.с.р. это с.л.а.у.
Таким
образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное
линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной
формы: Решение:
Ввиду
отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное
линейное преобразование:
после чего получим Полагая
Найдем
невырожденное линейное преобразование.
Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому
виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного
преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых
неизвестных через старые.
Решение:
Приведем
данную форму к каноническому виду:
= Полагая, что
получим
канонический вид квадратичной формы:
|
![]() |
---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |